Je vous propose de laisser les calculs de côté (Ouf !...), de raisonner et de réaliser quelques simulations.

Un élève de Terminale, en début d'année (après, il est très fort...) doit se méfier de ce type de question piège, et il faut penser à un paramètre fondamental : ici, la Lune a une vitesse initiale.

Si la Lune n'avait pas la Terre à côté d'elle, elle tournerait autour du Soleil, mais elle n'irait pas s'écraser sur lui sous l'action de la force de gravitation, car elle serait en chute pertpétuelle, comme Newton le disait, et ceci car sa vitesse est suffisamment grande. Personne ne s'étonne que le couple Terre-Lune ne s'écrase pas sur le Soleil alors que l'attraction solaire est bien présente. Ci-contre, son mouvement simulé et sa trajectoire autour du soleil. Cliquez sur l'image pour lancer l'animation.
Lorsqu'une planète (Lune) tourne autour d'une autre (Terre), et que cette dernière tourne autour du soleil, elles ont toutes les deux un mouvement elliptique. L'un des foyers de l'ellipse est occupé par le Soleil. Cliquez...

Ainsi, la Lune tourne-t-elle aussi autour du soleil, et ne se dirige pas vers lui, à cause de sa vitesse initiale, même quand l'attraction solaire est plus forte que l'attraction terrestre. Nous sommes rassurés : la Lune ne quittera pas la Terre... Quoique...??

Allons plus loin : si la Terre avait plusieurs lunes déjà en orbite autour d'elle, quel serait le mouvement de l'ensemble ?
Pour que la démonstration soit spectaculaire, ne lésinons pas sur le nombre de lunes : 16, çà vous convient ? Les vitesses initiales ne sont pas quelconques.
Cliquez pour lancer l'animation, la Terre tourne autour du Soleil, et vous pouvez vérifier que chaque lune tourne autour de la Terre. Admirez le résultat, dû à Bob Jenkins, et essayez de suivre la trajectoire d'une lune particulière.

Poursuivons le raisonnement concernant la présence de la Lune près de la Terre. En réalité, ces simulations nous rassurent, mais elles sont calculées à partir de conditions initiales telles que, à l'arrivée, la Lune reste en orbite autour de la Terre.
Alors, existe-t-il une ou des conditions pour lesquelles la Lune ne serait pas restée en orbite autour de la Terre ou du Soleil ? La réponse est oui, et aujourd'hui la Lune pourrait effectivement être absente de notre vie. Passons en revue différents cas de figures, favorables ou non au maintien de la Lune autour de la Terre.

Premier cas : Si la vitesse d'une planète est trop grande quand elle passe à proximité du Soleil, et si la force de gravitation exercée par le Soleil est trop faible, la planète va être déviée, mais elle ne va pas se mettre en orbite autour du Soleil.
Cliquez pour lancer l'animation, la planète bleue reste en orbite, les deux rouges sont déviées mais vont se perdre dans l'Univers.
Deuxième cas : Si la Lune avait tourné dans un plan perpendiculaire au plan de la trajectoire de la Terre autour du Soleil, elle serait restée... peu de temps, car cette situation n'est pas stable. Cliquez pour lancer l'animation.
Troisième cas : Les lunes qui tournent autour d'une planète, dans le même plan que la trajectoire de cette planète autour du Soleil, et dans le même sens de rotation, ne restent pas en orbite, en général. Notre Lune a ce mouvement. Par le fait de sa vitesse initiale, elle est restée en orbite autour de nous, mais avouez que son absence créerait un vide. Cliquez et regardez ce qu'il aurait pu se produire.
Quatrième cas : Les lunes qui tournent autour d'une planète, dans le même plan que la trajectoire de cette planète autour du Soleil, et dans un sens de rotation contraire, ont un mouvement très stable. Encore une fois, remarquez l'importance de la direction et du sens de la vitesse initiale.
Cinquième cas : C'est un numéro de haute voltige, dû au fait que cette lune passe un peu près du Soleil... à déguster en silence. A l'arrivée, la lune ... non, je ne vais pas vous priver du plaisir de la découverte. Dépéchez-vous de cliquer.

Les deux photographies appartiennent à la NASA.
L'auteur du code javascript est Bob Jenkins. Il a réalisé d'autres simulations, assez étonnantes.
Je le remercie de m'avoir permis d'utiliser son code à des fins pédagogiques.

  ©  Francis Lagardesse. Novembre 1998.